유튜브 - 혁펜하임님의 선형대수학을 참고했습니다.
행렬곱은 내적이다.
\[\begin{aligned} &\text{Let }A \in \mathbb{R}^{m \times n},B \in \mathbb{R}^{n \times p} \\ &AB = \begin{bmatrix} a_1^T\\ a_2^T\\ \vdots\\ a_m^T\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \dots & b_p \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1^Tb_1 & a_1^Tb_2 & \dots & a_1^Tb_p \\ a_2^Tb_1 & a_2^Tb_2 & \dots & a_2^Tb_p \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m}^Tb_1 & a_m^Tb_2 & \dots & a_m^Tb_p \\ \end{bmatrix} \end{aligned}\]행렬곱은 rank-1 matrix의 합이다.
\[\begin{aligned} &\text{Let }A \in \mathbb{R}^{m \times n},B \in \mathbb{R}^{n \times p} \\ &AB = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1^T \\ b_2^T \\ \vdots \\ b_n^T \end{bmatrix} = a_1b_1^T + a_2b_2^T + \dots + a_nb_n^T \end{aligned}\]행렬과 벡터의 곱은 열공간에 속한 임의의 벡터이다.
\[\begin{aligned} &\text{Let }A \in \mathbb{R}^{m \times n},x \in \mathbb{R}^{n \times 1} \\ &Ax = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n \end{aligned}\]- \(a_1,a_2,\dots,a_n\)은 벡터 \(x_1,x_2,\dots,x_n\)은 스칼라이다.
- 행렬곱은 위와같이 열공간의 기저(행렬\(A\)의 열벡터)와 스칼라(미지수벡터\(x\)의 원소)와의 일차결합이므로 기저인 열벡터가 생성(span)하는 열공간의 원소이다. 이는 방정식 \(Ax=b\)의 해의 갯수를 알아내는데에 사용하는 중요한 개념이다.(참고 : 방정식 Ax = b의 해의 갯수 알아내기)
- 열공간(column space) : 행렬에서 (열)벡터의 일차결합으로 생성되는 벡터공간. 열벡터의 span
행벡터와 행렬의 곱은 row space(행공간)에 속한 임의의 벡터이다.
\[\begin{aligned} &\text{Let }x \in \mathbb{R}^{1 \times n},X \in \mathbb{R}^{n \times p} \\ &xA = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \dots & x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1^T \\ a_2^T \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} = x_1a_1^T + x_2a_2^T + \dots + x_na_n^T \end{aligned}\]- \(a_1^T,a_2^T,\dots,a_n^T\)은 벡터 \(x_1,x_2,\dots,x_n\)은 스칼라이다. 행렬곱은 위와같이 행공간의 기저(행렬\(A\)의 행벡터)와 스칼라(\(x\)의 원소)와의 일차결합으로 기저인 행벡터가 생성하는 행공간의 원소이다.
- 행공간 : 행렬에서 행벡터의 일차결합으로 생성되는 벡터공간. 행벡터의 span